Question

12．已知正方形ABCD，E为对角线BD上一点，过E点作EF丄BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．

（1）求证：EG=CG；
（2）将图①中的△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②，取DF的中点G，连接EG，CG．你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
（3）将图①中的△BEF绕B点旋转任意角度，如图③，再连接相应的线段，则（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）

Answer 1

分析 （1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．
（2）猜想：（1）中结论仍然成立，即EG=CG；连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG．
（3）结论依然成立．

解答 （1）证明：在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴CG=$\frac{1}{2}$FD，
同理，在Rt△DEF中，EG=$\frac{1}{2}$FG，∴CG=EG；----------------------------------------------（3分）
（2）猜想：（1）中结论仍然成立，即EG=CG；
连接AG，过G点作GK⊥AD于K，在△DAG和△DCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADG=∠CDG}\\{DG=DG}\end{array}\right.$，
∴△DAG≌△DCG（SAS），
∴AG=CG，G为DF中点．易证K为AE中点，∴AG=EG，
∴CG=EG------------------（7分）

（3）（1）中的结论仍然成立，即EG=CG，其他的结论还有：EG⊥CG．----------------------（11分）

点评 本题考查了正方形的性质的运用，矩形的判定就性质的运用，旋转的性质的运用，直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．