Question

1．已知函数f（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}}$）cosx．
（1）若x∈[0，$\frac{π}{2}}$]，求f（x）的取值范围；
（2）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A为锐角，f（A）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，b=2，c=3，求BC边上的中线长．

Answer 1

分析 （1）利用两角和与差的三角函数化简表达式为一个角的一个三角函数的形式，结合x的范围求出相位的范围，即可求出函数的值域．
（2）求出A的值，设BC的中点为D，利用$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}）$，通过平方求出BC边上的中线长．

解答 解：（1）$f（x）=（{sinx+\sqrt{3}cosx}）cosx=sinxcosx+\sqrt{3}{cos^2}x$
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∵x∈[0，$\frac{π}{2}}$]，∴2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]．∴$-\frac{\sqrt{3}}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{3}$）≤1．
∴f（x）∈[0，1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．
（2）由$f（A）=sin（{2A+\frac{π}{3}}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，得$sin（{2A+\frac{π}{3}}）=0$，又A为锐角，∴$A=\frac{π}{3}$．
设BC的中点为D，则$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}）$，
∴${\overrightarrow{AD}^2}=\frac{1}{4}（{{{\overrightarrow{AB}}^2}+{{\overrightarrow{AC}}^2}+2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}）=\frac{1}{4}（{4+9+2×2×3×\frac{1}{2}}）=\frac{19}{4}$，
∴$|{\overrightarrow{AD}}|=\frac{{\sqrt{19}}}{2}$，
∴BC边的中线长为$\frac{{\sqrt{19}}}{2}$．

点评 本题考查两角和与差的三角函数向量的数量积的应用，三角形的解法，考查计算能力．