Question

如图1­3所示，在四棱柱ABCD ­A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB＝60°，AB＝2CD＝2，M是线段AB的中点．

图1­3

(1)求证：C₁M∥平面A₁ADD₁；

(2)若CD₁垂直于平面ABCD且CD₁＝，求平面C₁D₁M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值．

Answer 1

解：(1)证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，

且AB＝2CD，所以AB∥DC，

又M是AB的中点，

所以CD∥MA且CD＝MA.

连接AD₁.因为在四棱柱ABCD ­ A₁B₁C₁D₁中，

CD∥C₁D₁，CD＝C₁D₁，

所以C₁D₁∥MA，C₁D₁＝MA，

所以四边形AMC₁D₁为平行四边形，

因此，C₁M∥D₁A.

又C₁M⊄平面A₁ADD₁，D₁A⊂平面A₁ADD₁，

所以C₁M∥平面A₁ADD₁.

(2)方法一：连接AC，MC.

由(1)知，CD∥AM且CD＝AM，

所以四边形AMCD为平行四边形，

所以BC＝AD＝MC.

由题意∠ABC＝∠DAB＝60°，

所以△MBC为正三角形，

因此AB＝2BC＝2，CA＝，

因此CA⊥CB.

设C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系C ­ xyz.

所以A(，0，0)，B(0，1，0)，D₁(0，0，)．

因此M，

所以＝，＝＝.

设平面C₁D₁M的一个法向量n＝(x，y，z)，

由得

可得平面C₁D₁M的一个法向量n＝(1，，1)．

又＝(0，0，)为平面ABCD的一个法向量．

因此cos〈，n〉＝＝，

所以平面C₁D₁M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为.

方法二：由(1)知，平面D₁C₁M∩平面ABCD＝AB，点过C向AB引垂线交AB于点N，连接D₁N.

由CD₁⊥平面ABCD，可得D₁N⊥AB，

因此∠D₁NC为二面角C₁ ­ AB ­ C的平面角．

在Rt△BNC中，BC＝1，∠NBC＝60°，

可得CN＝，

所以ND₁＝＝.

在Rt△D₁CN中，cos∠D₁NC＝＝＝，

所以平面C₁D₁M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为.