Question

已知直线l：ax+y=1在矩阵A=

2   3 0   1

对应的变换作用下变为直线l′：x+by=1．
（1）求实数a，b的值；
（2）若点P（x₀，y₀）在直线l上，且A

x0 y0

=

x0 y0

，求点P的坐标．

Answer 1

考点：变换、矩阵的相等

专题：选作题,矩阵和变换

分析：（1）任取直线l：ax+y=1上一点M（x，y），经矩阵A变换后点为M′（x′，y′），利用矩阵乘法得出坐标之间的关系，求出直线l′的方程，从而建立关于a，b的方程，即可求得实数a，b的值；
（2）利用矩阵乘法得出

x0=2x0+3y0 y0=y0

，即可求点P的坐标．

解答： 解：（1）设直线l上一点（x，y）在矩阵A对应的变换下得点（x'，y'），
则

2   3 0   1

x y

=

x′ y

，
∴

x′=2x+3y y′=y

代入直线l'，得2x+（b+3）y=1，
∴a=2，b=-2；…（5分）
（2）∵点P（x₀，y₀）在直线l上，∴2x₀+y₀=1，
由

2   3 0   1

x0 y0

=

x0 y0

，得

x0=2x0+3y0 y0=y0

，
∴

x0= 3 5 y0=- 1 5

，∴P(

3

5

，-

1

5

)．…（10分）

点评：本题以矩阵为依托，考查矩阵的乘法，关键是正确利用矩阵的乘法公式．