Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-（a-1）x²+b²x，其中a，b为常数．若任取a∈[0，4]，b∈[0，3]，则函数f（x）在R上是增函数的概率是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,几何概型

专题：导数的综合应用,概率与统计

分析：这是一个几何概型问题，我们可以先画出a∈[0，4]，b∈[0，3]，对应的平面区域的面积，然后再求出满足条件函数f（x）在R上是增函数时对应的平面区域的面积，计算出对应的面积后，代入几何概型公式即可得到答案．

解答： 解：f'（x）=x²-2（a-1）x+b²
若函数f（x）在R上是增函数，则对于任意x∈R，f'（x）≥0恒成立．
所以，△=4（a-1）²-4b²≤0，即（a+b-1）（a-b-1）≤0
设“f（x）在R上是增函数”为事件A，则事件A对应的区域为{（a，b）|（a+b-1）（a-b-1）≤0}
全部试验结果构成的区域{Ω=（a，b）|0≤a≤4，0≤b≤3}，如图．
所以，P（A）=

s阴影

sΩ

=

3×4- 1 2 ×1×1- 1 2 ×3×3

3×4

=

7

12

．
故函数f（x）在R上是增函数的概率为

7

12

，
故答案为

7

12

．

点评：这是一个几何概型的概率题，本题的关键是找到事件A对应的区域和试验的全部结果，根据几何概型公式就可以算出结果．