Question

19．已知数列{a_n}是各项均为正数的等比数列，且a₂=2，a₃=2+2a₁．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{$\frac{2n-1}{{a}_{n}}$}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）设公比q，q＞0，由题意可知q²-q-2=0，即可求得q的值，利用等比数列的前n项和公式，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）可知：$\frac{2n-1}{{a}_{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$，利用“错位相减法”即可求得数列{$\frac{2n-1}{{a}_{n}}$}的前n项和．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比q，q＞0由a₂=2，a₃=2+2a₁．则q²-q-2=0，
解得q=2，则a₁=1，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2^n-1；
（2）由$\frac{2n-1}{{a}_{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$，
数列{$\frac{2n-1}{{a}_{n}}$}的前n项和S_n，则S_n=1+$\frac{3}{{2}^{1}}$+$\frac{5}{{2}^{2}}$+…+$\frac{2n-3}{{2}^{n-2}}$+$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$，
$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+$\frac{5}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-3}{{2}^{n-1}}$+$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
两式相减得：$\frac{1}{2}$S_n=1+2（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）-$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
则S_n=2+2+$\frac{2}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+…+$\frac{2}{{2}^{n-2}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$，
=2+2×$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n-1}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$=6-$\frac{2n+3}{{2}^{n-1}}$，
数列{$\frac{2n-1}{{a}_{n}}$}的前n项和为6-$\frac{2n+3}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查等比数列的性质，等比数列的通项公式，考查“错位相减法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．