Question

20．已知{a_n}为等差数列，前n项和为S_n（n∈N^*），{b_n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b₂+b₃=12，b₃=a₄-2a₁，S₁₁=11b₄．
（Ⅰ）求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_2nb_n}的前n项和（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q．通过b₂+b₃=12，求出q，得到${b_n}={2^n}$．然后求出公差d，推出a_n=3n-2．
（Ⅱ）设数列{a_2nb_n}的前n项和为T_n，利用错位相减法，转化求解数列{a_2nb_n}的前n项和即可．

解答 （Ⅰ）解：设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q．由已知b₂+b₃=12，得${b_1}（q+{q^2}）=12$，而b₁=2，所以q²+q-6=0．又因为q＞0，解得q=2．所以，${b_n}={2^n}$．
由b₃=a₄-2a₁，可得3d-a₁=8．
由S₁₁=11b₄，可得a₁+5d=16，联立①②，解得a₁=1，d=3，
由此可得a_n=3n-2．
所以，{a_n}的通项公式为a_n=3n-2，{b_n}的通项公式为${b_n}={2^n}$．
（Ⅱ）解：设数列{a_2nb_n}的前n项和为T_n，由a_2n=6n-2，有${T_n}=4×2+10×{2^2}+16×{2^3}+…+（6n-2）×{2^n}$，$2{T_n}=4×{2^2}+10×{2^3}+16×{2^4}+…+（6n-8）×{2^n}+（6n-2）×{2^{n+1}}$，
上述两式相减，得$-{T_n}=4×2+6×{2^2}+6×{2^3}+…+6×{2^n}-（6n-2）×{2^{n+1}}$=$\frac{{12×（1-{2^n}）}}{1-2}-4-（6n-2）×{2^{n+1}}=-（3n-4）{2^{n+2}}-16$．
得${T_n}=（3n-4）{2^{n+2}}+16$．
所以，数列{a_2nb_n}的前n项和为（3n-4）2ⁿ⁺²+16．

点评 本题考查等差数列以及等比数列通项公式的求法，数列求和，考查转化思想以及计算能力．