Question

6．若实数a，b在区间[0，$\sqrt{2}$]上取值，则函数f（x）=$\frac{2}{3}$ax³+bx²+ax在R上有两个相异极值点的概率是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{8}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 先利用导数求出函数f（x）=ax³+bx²+ax在R上有两个相异极值点的充要条件，得出关于a，b的约束条件，在a-o-b坐标系中画出可行域，再利用几何概型求出两者的面积比即可．

解答 解：函数f（x）=$\frac{2}{3}$ax³+bx²+ax，易得f′（x）=2ax²+2bx+a，
函数f（x）=$\frac{2}{3}$ax³+bx²+ax在R上有两个相异极值点的充要条件：
是a≠0且其导函数的判别式大于0，即a≠0且4b²-8a²＞0，
又a，b在区间[0，$\sqrt{2}$]上取值，则 a＞0，b＞$\sqrt{2}$a，
点（a，b）满足的区域如图中阴影部分所示，
其中正方形区域的面积为3，阴影部分的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故所求的概率是 $\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故选：B．

点评 本题主要考查了利用导数研究函数的极值、几何概型．简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．