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如图,已知多面体的底面是边长为的正方形,底面,且
(Ⅰ)求多面体的体积;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值;
(Ⅲ)记线段BC的中点为K,在平面ABCD内过点K作一条直线与平面平行,要求保留作图痕迹,但不要求证明.

(Ⅰ)(Ⅰ)
(Ⅱ)设直线与平面所成角为  
(Ⅲ)利用三角形中位线定理,取线段DC的中点,连接即为所求.

解析试题分析:(Ⅰ)(Ⅰ)连接ED,利用“分割法”计算得
(Ⅱ)以点A为原点,AB所在的直线为轴,AD所在的直线为轴,建立空间直角坐标系.确定得到A(0,0,0),E(0,0,2),B(2,0,0),C(2,2,0),F(0,2,1),及.
利用  确定平面的一个法向量为.
设直线与平面所成角为 
(Ⅲ)取线段DC的中点;连接,则直线即为所求.
试题解析:(Ⅰ)如图,连接ED,
底面,∴底面,
,
,
,                     1分
,         2分
  ,              3分
∴多面体的体积
.              5分
(Ⅱ)以点A为原点,AB所在的直线为轴,AD所在的直线为轴,建立空间直角坐标系,如图.由已知可得A(0,0,0),E(0,0,2),B(2,0,0),C(2,2,0),F(0,2,1),

所以       7分
设平面ECF的法向量为
   得:
取y=1,得平面的一个法向量为         9分
设直线与平面所成角为
所以    11分  
(Ⅲ)取线段CD的中点;连接,直线即为所求.                12分
图上有正确的作图痕迹            13分

考点:1、平行关系,2、垂直关系,3、空间向量的应用,4、角及体积的计算.

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图1                              图2
(1)求证:平面
(2)求证:
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