如图,已知多面体的底面是边长为的正方形,底面,,且.
(Ⅰ)求多面体的体积;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值;
(Ⅲ)记线段BC的中点为K,在平面ABCD内过点K作一条直线与平面平行,要求保留作图痕迹,但不要求证明.
(Ⅰ)(Ⅰ).
(Ⅱ)设直线与平面所成角为,
(Ⅲ)利用三角形中位线定理,取线段DC的中点,连接即为所求.
解析试题分析:(Ⅰ)(Ⅰ)连接ED,利用“分割法”计算得.
(Ⅱ)以点A为原点,AB所在的直线为轴,AD所在的直线为轴,建立空间直角坐标系.确定得到A(0,0,0),E(0,0,2),B(2,0,0),C(2,2,0),F(0,2,1),及.
利用 确定平面的一个法向量为.
设直线与平面所成角为,
(Ⅲ)取线段DC的中点;连接,则直线即为所求.
试题解析:(Ⅰ)如图,连接ED,
∵底面且,∴底面,
∴,
∵,
∴面, 1分
∴, 2分
, 3分
∴多面体的体积
. 5分
(Ⅱ)以点A为原点,AB所在的直线为轴,AD所在的直线为轴,建立空间直角坐标系,如图.由已知可得A(0,0,0),E(0,0,2),B(2,0,0),C(2,2,0),F(0,2,1),
所以 7分
设平面ECF的法向量为,
则 得:
取y=1,得平面的一个法向量为 9分
设直线与平面所成角为,
所以 11分
(Ⅲ)取线段CD的中点;连接,直线即为所求. 12分
图上有正确的作图痕迹 13分
考点:1、平行关系,2、垂直关系,3、空间向量的应用,4、角及体积的计算.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,四棱柱中,平面.
(Ⅰ)从下列①②③三个条件中选择一个做为的充分条件,并给予证明;
①,②;③是平行四边形.
(Ⅱ)设四棱柱的所有棱长都为1,且为锐角,求平面与平面所成锐二面角的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图1,在等腰梯形CDEF中,CB、DA是梯形的高,,,现将梯形沿CB、DA折起,使且,得一简单组合体如图2示,已知分别为的中点.
图1 图2
(1)求证:平面;
(2)求证: ;
(3)当多长时,平面与平面所成的锐二面角为?
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