Question

9．在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点M的极坐标为$（3\sqrt{2}，\frac{π}{4}）$，圆C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}}\right.$（α为参数）．
（1）直线l过M且与圆C相切，求直线l的极坐标方程；
（2）过点P（0，m）且斜率为$\sqrt{3}$的直线l'与圆C交于A，B两点，若|PA|•|PB|=6，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）根据参数方程和极坐标方程和普通方程的关系进行转化即可；
（2）将直线方程代入圆的方程得到关于t的二次方程，根据判别式求出关于m的方程，解出即可．

解答 解：（1）M的直角坐标为（3，3），
圆C的直角坐标方程为（x-1）²+y²=4，
设直线l：y-3=k（x-3），即l：kx-y-3k+3=0，
因为直线l与圆C相切，所以$\frac{|2k-3|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=2$，解得$k=\frac{5}{12}$，
此时直线l的方程为5x-12y+21=0，
若直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=3，
所以直线l的极坐标方程为5ρcosθ-12ρsinθ+21=0或ρcosθ=3．
（2）将直线l'的参数方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=m+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数），
代入圆C的方程（x-1）²+y²=4，
得：t²+（$\sqrt{3}$m-1）t+m²-3=0，
$△={（\sqrt{3}m-1）^2}-4（{m^2}-3）$=$-{m^2}-2\sqrt{3}m+13＞0$，
设PA=t₁，PB=t₂，则${t_1}•{t_2}={m^2}-3$，
因为|PA|•|PB|=6，所以$|{t_1}•{t_2}|=|{m^2}-3|=6$，
所以m²-3=±6，解得m=±3，
由△＞0知，所求m的值为-3．

点评 本题考查了参数方程和极坐标方程以及普通方程的关系，考查二次函数的性质，是一道综合题．