Question

8．已知数列{a_n}的首项为6，且满足a_n=3a_n-1-6（n＞2）．
（1）求证数列{a_n-3}为等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式．
（2）设b_n=a_n+2n-3，求数列{b_n}的通项公式及前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由题知a₁-3=3，$\frac{{a}_{n}-3}{{a}_{n-1}-3}$=$\frac{3{a}_{n-1}-6-3}{{a}_{n-1}-3}$=3，从而证明数列{a_n-3} 是以3为首项，以3为公比的等比数列，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由${b_n}={3^n}+2n$，利用分组求和法能求出数列{b_n}的通项公式及前n项和T_n．

解答 解：（1）∵数列{a_n}的首项为6，
∴由题知a₁-3=3．…1分
∵a_n=3a_n-1-6（n＞2），
∴$\frac{{a}_{n}-3}{{a}_{n-1}-3}$=$\frac{3{a}_{n-1}-6-3}{{a}_{n-1}-3}$=$\frac{3（{a}_{n-1}-3）}{{a}_{n-1}-3}$=3，…3分
$\therefore$数列{a_n-3} 是以3为首项，以3为公比的等比数列．…4分
∴${a_n}-3=3×{3^{n-1}}={3^n}$ …5分
∴${a_n}={3^n}+3$．…6分
（2）∵b_n=a_n+2n-3，
∴${b_n}={3^n}+2n$ …7分
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=（3¹+2×1）+（3²+2×2）+（3³+2×3）+…+（3ⁿ+2×n） …8分
=（3¹+3²+3³+…+3ⁿ）+2（1+2+3+…+n） …9分
=$\frac{{3（1-{3^n}）}}{1-3}+2×\frac{n（1+n）}{2}$ …10分
=$\frac{{{3^{n+1}}-3}}{2}+{n^2}+n$．…12分

点评 本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式及前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．