Question

5．下面图形都是由小正三角形构成的，设第个图形中的黑点总数为f（n）．

（1）求f（2），f（3），f（4），f（5）出的值；
（2）找出f（n）与f（n+1）的关系，并求出f（n）的表达式．

Answer 1

分析 （1）由题意有f（1）=3，借助三角形能求出f（2），f（3），f（4），f（5）的值．
（2）f（n+1）=f（n）+3+3×2n=f（n）+6n+3，从而f（n+1）-f（n）=6n+3，由此利用累加法能求出f（n）的表达式．

解答 解：（1）由题意有f（1）=3，
f（2）=f（1）+3+3×2=12，
f（3）=f（2）+3+3×4=27，
f（4）=f（3）+3+3×6=48，
f（5）=f（4）+3+3×8=75．…（6分）
（2）由题意及（Ⅰ）知，f（n+1）=f（n）+3+3×2n=f（n）+6n+3，
即f（n+1）-f（n）=6n+3，…（8分）
故f（2）-f（1）=6×1+3，
f（3）-f（2）=6×2+3，f（4）-f（3）=6×3+3，
…
f（n）-f（n-1）=6（n-1）+3，n≥2．…（10分）
将上面（n-1）个式子相加，得：
$f（n）-f（1）=6[1+2+3+…+（n-1）]+3（n-1）=6×\frac{（1+n-1）（n-1）}{2}+3（n-1）=3{n^2}-3$，
又f（1）=3，所以f（n）=3n²，n≥2，
而当n=1时，f（1）=3也满足上式，
故f（n）=3n²，n∈N^*．…（12分）

点评 本题考查推理能力，考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，考查累加法的求解思路与方法，是中档题．