Question

20．某湿地公园有一边长为4百米的正方形水域ABCD，如图，EF是其中轴线，水域正中央有一半径为1百米的圆形岛屿M，小岛上种植有各种花卉．现欲在线段AF上某点P处（AP的长度不超过1百米）开始建造一直线观光木桥与小岛边缘相切（不计木桥宽度），与BC相交于Q点．过Q点继续建造直线木桥NQ与小岛边缘相切，NQ与中轴线EF交于N点，N点与E点也以木桥直线相连．
（1）当AP=1百米时，求木桥PQ的长度（单位：百米）；
（2）问是否存在常数m，使得mQN+NE为定值？如果存在，请求出常数m，并给出定值，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设PQ斜率为k，根据直线PQ与圆M相切列方程解出k，得出Q点坐标，从而可计算PQ的长；
（2）设PQ斜率为k，NQ斜率为k₁，AP=a，根据切线的性质得出k，k₁与a的关系，求出mNQ+NE，化简即可得出结论．

解答 解：（1）以A为原点，AB所在直线为x轴，
建立平面直角坐标系如图（单位：百米）．
圆M的方程为：（x-2）²+（y-2）²=1，P（1，0），
设直线PQ的方程为y=k（x-1），则$\frac{|k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，
解得k=$\frac{3}{4}$，∴直线PQ的方程为y=$\frac{3}{4}$（x-1），
把x=4代入直线方程得y=$\frac{9}{4}$，即Q（4，$\frac{9}{4}$），
∴PQ=$\sqrt{P{B}^{2}+B{Q}^{2}}$=$\frac{15}{4}$．
答：木桥PQ的长度为$\frac{15}{4}$百米．
（2）设AP=a百米，（0≤a≤1），
设PQ方程为y=k（x-a），则$\frac{|k（2-a）-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，
∴2-k（2-a）=$\sqrt{{k}^{2}+1}$，
设直线NQ斜率为k₁，则直线NQ的方程为y-k（4-a）=k₁（x-4），
令x=2得N（2，k（4-a）-2k₁），
∴NE=4+2k₁-k（4-a），
∵直线NQ与圆M相切，∴$\frac{|{k}_{1}（2-4）-2+k（4-a）|}{\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}}$=1，
∴-2k₁-2+k（4-a）=$\sqrt{{{k}_{1}}^{2}+1}$，
∴NQ=$\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}$|4-2|=2$\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}$=2[-2k₁-2+k（4-a）]，
∴mNQ+NE=2m[-2k₁-2+k（4-a）]+4+2k₁-k（4-a）=（1-2m）[2+2k₁-k（4-a）]+2，
∴当1-2m=0，即m=$\frac{1}{2}$时，$\frac{1}{2}$NQ+NE=2．
答：存在常数m=$\frac{1}{2}$，使得$\frac{1}{2}$NQ+NE为定值2．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系，距离公式的应用，属于中档题．