Question

17．已知正项数列{a_n}满足a₁=22，a_n+1（a_n+1-2n）=a_n（a_n+2n），则当$\frac{{a}_{n}}{n}$取得最小值时，n=5．

Answer 1

分析 化简可得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2n）=0，从而可得a_n+1-a_n-2n=0，再利用累加法求得a_n=n（n-1）+22，从而结合函数的性质求解．

解答 解：∵a_n+1（a_n+1-2n）=a_n（a_n+2n），
∴（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2n）=0，
∵a_n＞0，
∴a_n+1-a_n-2n=0，
∴a₂-a₁=2，a₃-a₂=4，a₄-a₃=6，…，a_n-a_n-1=2（n-1），
累加可得，
a_n-a₁=2+4+6+…+2（n-1）=n（n-1），
故a_n=n（n-1）+22，
故$\frac{{a}_{n}}{n}$=n-1+$\frac{22}{n}$=$\frac{22}{n}$+n-1，
由对勾函数的性质可知，
当n=4时，$\frac{22}{4}$+4-1=$\frac{17}{2}$=8.5，
当n=5时，$\frac{22}{5}$+5-1=$\frac{42}{5}$=8.4；
故答案为：5．

点评 本题考查了方程思想与函数思想的应用，同时考查了累加法的应用，属于中档题．