Question

16．已知$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（2，-8），$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（-8，16），
（1）求$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的坐标； 
（2）求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的值；
（3）求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角θ的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）=2\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$进行向量坐标的加法、减法和数乘运算即可求出向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的坐标；
（2）进行向量数量积的坐标运算即可求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的值；
（3）可求出$|\overrightarrow{a}|，|\overrightarrow{b}|$的值，根据向量夹角的余弦公式即可求出$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角的余弦值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{a}=（-6，8）$；
∴$\overrightarrow{a}=（-3，4）$；
$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）=2\overrightarrow{b}=（10，-24）$；
∴$\overrightarrow{b}=（5，-12）$；
（2）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=（-3，4）•（5，-12）=-15-48=-63$；
（3）$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-63}{5×13}$=$-\frac{63}{65}$．

点评 考查向量的数乘运算，向量坐标的加法、减法和数乘运算，以及向量数量积的坐标运算，向量夹角的余弦公式．