解：（Ⅰ）根据题意得，f
-1（x）=
，
于是由a
n=
得，a
n=5S
n+1，
当n=1时，a
1=5s
1+1∴a
1=-
又∵a
n=5s
n+1a
n+1=5a
n+1+1∴a
n+1-a
n=5a
n+1
=-
∴数列{a
n}是首项为a
1=-
，公比为q=-
的等比数列，∴a
n=
，
b
n=
（n∈N
*）
（Ⅱ）不存在正整数k，使得R
n≥4k成立．
证明：由（I）知b
n=
=4+
∵b
2k-1+b
2k=8+
+
=8+
-
=8-
＜8
∴当n为偶数时，设n=2m（m∈N
*）
∴R
n=（b
1+b
2）+（b
3+b
4）+…+（b
2m-1+b
2m）＜8m+4n
当n为奇数时，设n=2m-1（m∈N
*）
∴R
n=（b
1+b
2）+（b
3+b
4）+…+（b
2m-3+b
2m-2）+b
2m-1=8m-4=4n
∴对于一切的正整数n，都有R
n＜4k∴不存在正整数k，使得R
n≥4k成立．
（Ⅲ）∵c
n=b
2n-b
2n-1=
-
=
+
=
（n∈N），
又
，∴
，当n=1时，
，
当n≥2时，
分析：（I）先根据题意求出a
n与S
n的关系，然后利用递推关系进行化简变形得到数列{a
n}是首项为a
1=-
，公比为q=-
的等比数列，从而求出数列{a
n}与数列{b
n}的通项公式；
（II）当n为偶数时，设n=2m（m∈N
*），R
n=（b
1+b
2）+（b
3+b
4）+…+（b
2m-1+b
2m）＜8m+4n，当n为奇数时，设n=2m-1（m∈N
*），则R
n=（b
1+b
2）+（b
3+b
4）+…+（b
2m-3+b
2m-2）+b
2m-1=8m-4=4n，从而对于一切的正整数n，都有R
n＜4k则不存在正整数k，使得R
n≥4k成立；
（III）根据b
n的通项公式，计算出c
n的通项公式，再比较T
n与
的大小．
点评：本题是一个综合性很强的题目，主要考查了数列与函数的综合应用以及反函数和数列不等式的综合应用，属于难题，同时考查了计算能力，分析解决问题的能力．
（x≠-1）的反函数是f-1（x
成立，且bn=f-1（an）
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