Question

10．已知等差数列{a_n}满足：a₅=3，前3项和S₃为$\frac{9}{2}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+2}}}}$}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）令${b}_{n}=\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+2}}$=$\frac{4}{（n+1）（n+3）}$=2（$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}$），利用裂项求和法能求出数列{$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+2}}}}$}的前n项和．

解答 解：（1）在等差数列{a_n}中设首项为a₁，公差为d，
∵a₅=3，前3项和S₃为$\frac{9}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+4d=3}\\{3{a}_{1}+\frac{3×2d}{2}=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
解得${a}_{1}=1，d=\frac{1}{2}$，
∴a_n=$\frac{1}{2}（n+1）$．
（2）令${b}_{n}=\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+2}}$=$\frac{4}{（n+1）（n+3）}$=2（$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}$），
∴数列{$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+2}}}}$}的前n项和：
T_n=2（$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}$）
=2（$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}$）
=$\frac{n（5n+13）}{3（n+2）（n+3）}$．

点评 本题考查数列的通项公式及前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．