Question

已知函数f(x)=ln(x+

3

2

)+

2

x

，g（x）=

1

x2-1

+a；
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若方程g（x）=ln（x²+1）有4个不同的实根，求a的范围？
（3）是否存在正数b，使得关于x的方程f（x）=blnx有两个不相等的实根？如果存在，求b满足的条件，如果不存在，说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）先求函数的定义域，然后在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可得单调区间；
（2）令h(x)=ln(x2+1)-

1

x2-1

，利用导数可判断函数h（x）的单调性及图象的变化趋势，由图象可得a的范围；
（3）假设存在正数b，使得方程f（x）=blnx存在两个不相等的实根x1 和x2 ，则

ln(x1+ 3 2 )+ 2 x1 =blnx1…(1) ln(x2+ 3 2 )+ 2 x2 =blnx2…(2)

，由（1）问结论可判断x₁＞1，x₂＞1，不妨设x₂＞x₁＞1，由（1）（2）可得

ln(x1+ 3 2 )+ 2 x1

lnx1

=

ln(x2+ 3 2 )+ 2 x2

lnx2

，容易证明函数y=ln(1+

3

2x

)+

2

x

在（1，+∞）恒大于0且为减函数，由此可得矛盾，得到结论；

解答： 解：（1）f（x）定义域是（-

3

2

，0）∪（0，+∞），求导得f′（x）=

(x+1)(x-3)

x2(x+ 3 2 )

，
由f′（x）＞0得，-

3

2

＜x＜-1或x＞3；由f′（x）＜0得-1＜x＜0或0＜x＜3．
∴f（x）的增区间是(-

3

2

，-1)，(3，+∞)；减区间是（-1，0），（0，3）函数f（x）；
（2）令h(x)=ln(x2+1)-

1

x2-1

，
求导得h′（x）=2x[

1

x2+1

+

1

(x2-1)2

]，
里面有一个零点x=0和两个断点x=±1，
∴得到函数在区间（0，1），（1，+∞）单调增；在区间（-∞，-1），（-1，0）单调减．
当x从负半轴方向趋近于-1时，h（x）→-∞，
当x从正半轴方向趋近于-1时，h（x）→+∞，
而且x→-∞时，h（x）→+∞
而且可以很容易得到h（x）=h（-x），∴函数为偶函数，且h（0）=1，
另半边的图象由关于y轴对称就可以得到了，所以g（x）=ln（x²+1）有4个不同的实根，
结合图象得到a＞h（0）=1；
（3）结论：这样的正数b不存在．
假设存在正数b，使得方程f（x）=blnx存在两个不相等的实根x1 和x2 ，则

ln(x1+ 3 2 )+ 2 x1 =blnx1…(1) ln(x2+ 3 2 )+ 2 x2 =blnx2…(2)

，
根据定义域知道x1 和x2 都是正数，
根据第（1）问知道，当x＞0时，函数的最小值fmin(x)=f(3)=(ln

9

2

)+

2

3

＞0 ，
∴f(x1)=ln(x1+

3

2

)+

2

x1

＞0 ，f(x2)=ln(x2+

3

2

)+

2

x2

＞0 ，
∵b＞0，等式两边同号，∴lnx₁＞0，lnx₂＞0，∴x₁＞1，x₂＞1，
不妨设x₂＞x₁＞1，
由（1）（2）可得

ln(x1+ 3 2 )+ 2 x1

lnx1

=

ln(x2+ 3 2 )+ 2 x2

lnx2

，
∴

ln(x1+ 3 2 )+ 2 x1

lnx1

-1=

ln(x2+ 3 2 )+ 2 x2

lnx2

-1，
∴

ln(1+ 3 2x1 )+ 2 x1

lnx1

=

ln(1+ 3 2x2 )+ 2 x2

lnx2

…(*)，
容易证明函数y=ln(1+

3

2x

)+

2

x

在（1，+∞）恒大于0且为减函数，
∵

ln(1+ 3 2x1 )+ 2 x1

ln(1+ 3 2x2 )+ 2 x2

=

lnx1

lnx2

左边大于1，右边小于1，
∴（*）方程显然不成立，
∴原假设：存在正数b，使得方程f（x）=blnx存在两个不相等的实根x1 和x2 错误，
∴不存在正数b，使得关于x的方程f（x）=blnx有两个不相等的实根．

点评：该题考查利用导数研究函数的单调性、方程的根等内容，考查数形结合思想，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力．