Question

己知f（x）=

a•2x+a-2

2x

是奇函数，
（1）求a的值；
（2）判断f（x）的单调性，x∈R；
（3）若方程f（x）=m（m＞0）在（-∞，0）上有解，求证：-

1

3

＜f（m）＜0．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合,函数奇偶性的性质

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）根据函数f（x）为定义域为R的奇函数，则f（0）=0，代入解析式可求出a的值；
（2）y=

1

2x

是R上的减函数，可得f（x）=1-

1

2x

是R上的增函数；
（3）先确定1＞m＞0，即可得出结论．

解答： （1）解：f（x）的定义域为R，且为奇函数，∴f（0）=0，
∴a=1；
（2）解：f（x）=1-

1

2x

，∵y=

1

2x

是R上的减函数，∴f（x）=1-

1

2x

是R上的增函数；
（3）证明：∵方程f（x）=m在（-∞，0）上有解，
∴1＞m＞0，∴-

1

2

＜f（m）＜0，
∴-

1

3

＜f（m）＜0．

点评：本题主要考查了函数的奇偶性，以及函数的单调性和函数的值域，属于中档题．