Question

如图四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，M、N分别是PC、AB的中点．
?①求证MN∥平面PAD；
?②求证MN⊥平面PCD．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：①设PD的中点为E，连AE，ME，由已知条件推导出四边形ANME是平行四边形，由此能证明MN∥平面PAD．
②连结PN，CN，由已庆条件推导出MN⊥PC，MN⊥PD，由此能证明MN⊥平面PCD．

解答： ①证明：设PD的中点为E，连AE，ME，
∵四边形ABCD是矩形，M、N分别是PC、AB的中点，
∴AN

∥

.

1

2

CD，NE

∥

.

1

2

CD，
∴四边形ANME是平行四边形，
则MN∥AE，
MN不包含于平面PAD，AE?平面PAD
∴MN∥平面PAD．
②证明：连结PN，CN，
∵PA⊥平面ABCD，PA=AD，M、N分别是PC、AB的中点，
∴AE⊥PD，PN=CN，∴MN⊥PC，
∵MN∥AE，∴MN⊥PD，
又PC∩PD=P，
∴MN⊥平面PCD．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．