Question

某校高二（1）班举行游戏中，有甲、乙两个盒子，这两个盒子中各装有大小、形状完全相同，但颜色不同的8个小球，其中甲盒子中装有6个红球、2个白球，乙盒子中装有7个黄球、1个黑球，现进行摸球游戏，游戏规则：从甲盒子中摸一个红球记4分，摸出一个白球记-1分；从乙盒子中摸出一个黄球记6分，摸出一个黑球记-2分．
（1）如果每次从甲盒子摸出一个球，记下颜色后再放回，求连续从甲盒子中摸出3个球所得总分（3次得分的总和）不少于5分的概率；
（2）设X（单位：分）为分别从甲、乙盒子中各摸一个球所获得的总分，求X的数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式

专题：概率与统计

分析：（1）设连续从甲盒子中摸出的3个球中，红球有x个，则白球有3-x个，由题意知4x-（3-x）≥5，由此能求出连续从甲盒子中摸出3个球所得总分（3次得分的总和）不少于5分的概率．
（2）由题意知X可能取值分别为10，5，2，-3，分别求出相应的概率，由此能求出X的数学期望．

解答： 解：（1）设连续从甲盒子中摸出的3个球中，
红球有x个，则白球有3-x个，
由题意知4x-（3-x）≥5，
解得x≥

8

5

，
∵x∈N^*，且x≤3，∴x=2或x=3，
∴连续从甲盒子中摸出3个球所得总分（3次得分的总和）不少于5分的概率：
p=

C

2 3

(

3

4

)2×

1

4

+(

3

4

)3=

27

32

．
（2）由题意知X可能取值分别为10，5，2，-3，
∵每次摸球相互独立，
∴P（X=10）=

6

8

×

7

8

=

21

32

，
P（X=5）=

2

8

×

7

8

=

7

32

，
P（X=2）=

6

8

×

1

8

=

3

32

，
P（X=-1）=

2

8

×

1

8

=

1

32

，
∴X的数学期望EX=10×

21

32

+5×

7

32

+2×

3

32

+(-3)×

1

32

=

31

4

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型分布列的数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．