Question

（Ⅰ）求值：tan45°+tan15°+

3

tan45°•tan15°
（Ⅱ）某同学在学习中发现，以下两个式子：
①tan13°+tan47°+

3

tan13°•tan47°；②tan（-20°）+tan80°+

3

tan（-20°）•tan80°的值与（Ⅰ）中计算的结果相同，请你根据这三个式子的结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数,归纳推理

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）易求tan45°=1，tan15°=2-

3

，代入所求关系式，即可得到答案为

3

；
（Ⅱ）若α+β=60°，则tanα+tanβ+

3

tanαtanβ=

3

，利用两角和的正切公式tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

，可得tanα+tanβ=tan（α+β）（1-tanαtanβ），将α+β=60°，代入计算即可证得结论成立．

解答： 解：（ I）tan45°=1，tan15°=tan（45°-30°）=

tan45°-tan30°

1+tan45°tan30°

=

1- 3 3

1+1× 3 3

=2-

3

，
所以原式=1+2-

3

+

3

（2-

3

）=

3

-------------------------------------------------（5分）
（注：用第二问中的证明方法去计算也给分）
（ II）若α+β=60°，则tanα+tanβ+

3

tanαtanβ=

3

，------------------（6分）
证明：因为tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

，所以tanα+tanβ=tan（α+β）（1-tanαtanβ），
左边=tan（α+β）（1-tanαtanβ）+

3

tanαtanβ
=tan60°（1-tanαtanβ）+

3

tanαtanβ
=

3

（1-tanαtanβ）+

3

tanαtanβ
=

3

，---------------------------（10分）

点评：本题考查两角和与差的正切函数，着重考查推理运算及证明能力，属于中档题．