Question

已知数列{a_n}和{b_n}满足a₁=2，a_n+1=

2an-1

an

，b_n=a_n-1，数列{b_n}的前n和为S_n．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）设T_n=S_2n-S_n，求证：T_n+1＞T_n；
（3）求证：对任意的n∈N^*有

nan+1

2

≤S_2ⁿ＜na_n-

1

2

成立．

Answer 1

考点：数列递推式,数列与不等式的综合

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）由已知条件推导出{

1

an-1

}是以1为首项，1为公差的等差数列，由此能求出b_n=

1

n

．
（2）由已知条件推导出T_n=S_2n-S_n=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

，T_n+1=

1

n+2

+

1

n+3

+…

1

2n

+

1

2n+1

+

1

2n+2

，由此利用作差法能证明T_n+1＞T_n．
（3）由an=

1

n

+1，推导出

nan+1

2

=

n

2

+1，S_2ⁿ=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n

，na_n-

1

2

=n+1．由此能证明对任意的n∈N^*有

nan+1

2

≤S_2ⁿ＜na_n-

1

2

成立．

解答： （1）解：∵a_n+1=

2an-1

an

，
∴a_n+1-1=

an-1

an

，
∴

1

an+1-1

-

1

an-1

=1
∵a₁=2，
∴{

1

an-1

}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴

1

an-1

=n，
∵b_n=a_n-1，
∴b_n=

1

n

．
（2）证明：∵Sn=1+

1

2

+

1

3

+••+

1

n

，
∴T_n=S_2n-S_n=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

，
T_n+1=

1

n+2

+

1

n+3

+…

1

2n

+

1

2n+1

+

1

2n+2

，
∴T_n+1-T_n=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

＞

1

2n+2

+

1

2n+2

-

1

n+1

=0，
∴T_n+1＞T_n．
（3）证明：由（1）知an=

1

n

+1，
∴

nan+1

2

=

n( 1 n +1)+1

2

=

n

2

+1，
S_2ⁿ=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n

，
na_n-

1

2

=n（

1

n

+1）=n+1．
∵n∈N^*，
∴对任意的n∈N^*有

nan+1

2

≤S_2ⁿ＜na_n-

1

2

成立．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意构造法和作差法的合理运用．