Question

若函数y=f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），对定义域内的任意两个实数x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y），并且当x＞1时，f（x）＞0，且f（4）=2
（1）证明函数y=f（x）为偶函数；
（2）证明函数f（x）在（0，+∞）上为增函数；
（3）若函数g（x）=2^x-2，且当a∈[1，4]时，有f（a）=g（b），求b的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数奇偶性的判断

专题：证明题,函数的性质及应用

分析：（1）运用函数的奇偶性的定义，令x=y=1得到f（1）=0，令x=y=-1得到f（-1）=0，令y=-1则f（-x）=f（x），结论成立；
（2）运用增函数的定义证明，令0＜x₁＜x₂则

x2

x1

＞1，f（

x2

x1

）＞0，再由条件可得到f（x₂）＞f（x₁），
可得证；
（3）由a∈[1，4]，f（x）为增函数，求出f（a）的取值范围，再解0≤2^b-2≤2，即可得到b的取值范围．

解答： （1）证明：∵定义域关于原点对称，
∴令x=y=1则f（1）=2f（1）
∴f（1）=0，
令x=y=-1则f（1）=2f（-1）
∴f（-1）=0，
令y=-1则f（-x）=f（x）+f（-1）
∴f（-x）=f（x）即y=f（x）为偶函数；
（2）证明：∵当x＞1时，f（x）＞0，
令0＜x₁＜x₂则

x2

x1

＞1，
f（

x2

x1

）＞0即f（x₂）+f（

1

x1

）＞0，
即f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数；
（3）解：由g（x）=2^x-2得g（b）=2^b-2，
又a∈[1，4]，f（x）为增函数，
∴f（1）最大即为0，f（4）最大即为2，
即0≤2^b-2≤2故1≤b≤2，
∴b的取值范围是[1，2]．

点评：本题主要考查函数的奇偶性和单调性及应用，注意定义的运用，以及考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，属于中档题．