Question

等差数列{a_n}，前n项和为S_n，a₁＞0，a₂₀₁₂，a₂₀₁₃是方程x²-（λ²+λ+1）x-（λ²+1）=0的两根，则满足S_n＞0的n的最大正整数为（　　）

• A、4023
• B、4024
• C、4025
• D、4026

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：由题意可得a₂₀₁₂＞0，a₂₀₁₃＜0，再根据S₄₀₂₄=2012（a₂₀₁₂+a₂₀₁₃ ）＞0，而S₄₀₂₅=4025a₂₀₁₃＜0，由此可得S_n＞0成立的最大自然数n的值．

解答： 解：∵等差数列{a_n}，首项a₁＞0，a₂₀₁₂，a₂₀₁₃是方程x²-（λ²+λ+1）x-（λ²+1）=0的两根，
∴a₂₀₁₂+a₂₀₁₃=λ²+λ+1＞0，a₂₀₁₂•a₂₀₁₃=-（λ²+1）＜0，
∴a₂₀₁₂＞0，a₂₀₁₃＜0．
假设a₂₀₁₂＜0＜a₂₀₁₃，则d＞0，而a₁＞0，可得a₂₀₁₂=a₁+2011d＞0，矛盾，故不可能．
再根据S₄₀₂₄=2012（a₂₀₁₂+a₂₀₁₃ ）＞0，
而S₄₀₂₅=4025a₂₀₁₃＜0，
因此使前n项和S_n＞0成立的最大自然数n为4024．
故选：B．

点评：本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，当等差数列中有奇数项时，前n项和等于中间项乘以项数，属于基础题．