Question

12．如图所示，某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A（1，2），B（4，0），一条河所在的直线方程为l：x+2y-10=0，若在河边l上建一座供水站P，使之到A，B两镇的管道最省，那么供水站P应建在什么地方？

Answer 1

分析 根据两点间的距离公式以及点的对称性，建立方程组关系进行求解即可．

解答 解：过A作直线l的对称点A′，连A′B交l于P，
∵|AP′|+|P′B|=|A′P′|+|BP′|＞|A′B|，
∴P点即为所求．
设A′（a，b），则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a+1}{2}+2•\frac{b+2}{2}-10=0}\\{\frac{b-2}{a-1}•（-\frac{1}{2}）=-1}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a+2b=15}\\{b=2a}\end{array}\right.$，解得a=3，b=6，
即A′（3，6），
∴直线A′B的方程为$\frac{y-0}{6-0}=\frac{x-4}{3-4}$，即6x+y-24=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{6x+y-24=0}\\{x+2y-10=0}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{38}{11}$，y=$\frac{36}{11}$，
即P（$\frac{38}{11}$，$\frac{36}{11}$），
故供水站P应建在P（$\frac{38}{11}$，$\frac{36}{11}$），才能使管道最省．

点评 本题主要考查直线对称性的应用，以及直线交点坐标的求解，利用数形结合是解决本题的关键，是中档题．