Question

设函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）．若f（x）在区间[

π

4

，

π

2

]上具有单调性，且f（

π

2

）=f（

2π

3

）=-f（

π

4

），则f（x）的最小正周期为

 

．

Answer 1

考点：三角函数的周期性及其求法,余弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：由题意可得可得函数f（x）的一条对称轴方程为x=

π 2 + 2π 3

2

=

7π

12

，x=

π

2

离最近对称轴距离为

7π

12

-

π

2

=

π

12

，

π

4

离最近对称轴的距离也为

π

12

，可得

T

2

=2×

π

12

+（

π

2

-

π

4

），由此求得周期T的值．

解答： 解：由f（

π

2

）=f（

2π

3

），可得函数f（x）的一条对称轴
方程为x=

π 2 + 2π 3

2

=

7π

12

，
则x=

π

2

离最近对称轴距离为

7π

12

-

π

2

=

π

12

，
又f（

π

2

）=-f（

π

4

），且f（x）在区间[

π

4

，

π

2

]上具有单调性，
故

π

4

离最近对称轴的距离也为

π

12

，
∴

T

2

=2×

π

12

+（

π

2

-

π

4

）=

5π

12

，∴T=

5π

6

，
故答案为：

5π

6

．

点评：本题考查f（x）=Asin（ωx+φ）型图象的形状，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力，是中档题．