Question

12．若函数f（x）=sin（ωx+φ），其中$ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}，x∈R$，两相邻对称轴的距离为$\frac{π}{2}$，$f（{\frac{π}{6}}）$为最大值，则函数f（x）在区间[0，π]上的单调增区间为（　　）

• A． $[{0，\frac{π}{6}}]$
• B． $[{\frac{2π}{3}，π}]$
• C． $[{0，\frac{π}{6}}]$和$[{\frac{π}{3}，π}]$
• D． $[{0，\frac{π}{6}}]$和$[{\frac{2π}{3}，π}]$

Answer 1

分析 根据题意，求出函数f（x）的函数解析式，再求函数f（x）在区间[0，π]上的单调增区间即可．

解答 解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）相邻对称轴的距离为$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{2}$，解得T=π，∴ω=2；
又$f（{\frac{π}{6}}）$为最大值，
令2×$\frac{π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得φ=$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z，
∴取φ=$\frac{π}{6}$，
∴函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z，
当k=0时，x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，当k=1时，x∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴f（x）在区间[0，π]上的单调增区间为[0，$\frac{π}{6}$]和[$\frac{2π}{3}$，π]．
故选：D．

点评 本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题，是基础题目．