Question

如图，在几何体ABCDE中，平面ABC⊥平面BCD，AE∥BD，△ABC为边长等于2的正三角形，CD=2

3

，BD=4，M为CD的中点．
（Ⅰ）证明：平面ECD⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角C-AB-M的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）证明BC⊥CD，利用平面ABC⊥平面BCD，可得DC⊥平面ABC，即可证明平面ECD⊥平面ABC．
（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角C-AB-M的大小．

解答： 证明：（Ⅰ）在△BCD中，BC=2，CD=2

3

，BD=4，
∴BC²+CD²=BD²，
∴BC⊥CD，
∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，
∴DC⊥平面ABC，
∵DC?平面ECD，
∴平面ECD⊥平面ABC；
（Ⅱ）取BC中点F，BD的中点为N，连接AF，FN．
则在等边三角形ABC中，AF⊥BC，且AF=

3

，
∵平面ECD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC=BC，
∴AF⊥面BCD，
在△BCD中，BF=CF，BN=ND，
∴FM∥CD，
由（1）知CD⊥BC，
∴FM⊥BC．以F为坐标原点，分别以FB，FN，FA为x，y，z轴，建立直角坐标系，
则A（0，0，

3

），B（1，0，0），C（-1，0，0），M（-1，

3

，0），
故

AB

=(1，0，-

3

)，

AM

=(-1，

3

，-

3

)，
故面ABM的法向量为

n

=（x，y，z），
则由

n • AB =0 n • AM =0

，得

x- 3 z=0 -x 3 y- 3 z=0

，
令x=

3

，则y=2，z=1，
故

n

=(

3

，2，1)，为平面ABM的一个法向量，
由（Ⅰ）知，

CM

=（0，

3

，0）为平面ABC的有关法向量，
故cos＜

n

，

CM

＞=

n • CM

| n || CM |

=

2 3

3+1+4 × 3

=

2

2

，
故二面角C-AB-M的大小为

π

4

．

点评：本题主要考查面面垂直的判断以及二面角的求解，利用向量法是解决本题的关键．