Question

边长为2的正三角形ABC中，D，E，M分别是AB，AC，BC的中点，N为DE的中点，将△ADE沿DE折起至A′DE位置，使A′M=

6

2

，设MC的中点为Q，A′B的中点为P，则
①A′N⊥平面BCED    
②NQ∥平面A′EC
③DE⊥平面A′MN
④平面PMN∥平面A′EC
以上结论正确的是（　　）

• A、①②④
• B、②③④
• C、①②③
• D、①③④

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：空间位置关系与距离,简易逻辑

分析：①由等边三角形的性质可得A′N=AN=MN=

3

2

，可得A′N2+MN2=(

3

2

)2×2=A′M²．可得A′N⊥MN，又A′N⊥DE，利用线面垂直的判定定理即可得出．
②由于NQ∥AC，利用线面平行的判定定理可得NQ∥平面A′EC；
③由①可得A′N⊥平面BCED，A′N⊥DE，又DE⊥MN，利用线面垂直的判定定理即可得出；
④由于MN∩平面A′EC=A，因此平面PMN∥平面A′EC不正确．

解答： 解：如图所示，
①由等边三角形的性质可得A′N=AN=MN=

3

2

，∴A′N2+MN2=(

3

2

)2×2=A′M²．∴A′N⊥MN，
又A′N⊥DE，ED∩MN=N，∴A′N⊥平面BCED，正确．
②∵NQ∥AC，NQ?平面A′EC，AC?平面A′EC，∴NQ∥平面A′EC，正确；
③由①可得A′N⊥平面BCED，∴A′N⊥DE，又DE⊥MN，MN∩A′N=N，∴DE⊥平面A′MN，正确；
④∵MN∩平面A′EC=A，∴平面PMN∥平面A′EC不正确．
综上可得：只有①②③正确．
故选：C．

点评：本题综合考查了线面面面平行与垂直的判定性质定理、三角形的中位线定理、勾股定理的逆定理，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．