Question

已知函数f（x）=（x²+bx+b）e^x的极值点为x=-

2

3

和x=1．
（1）当b=1时，求函数f（x）的增区间；
（2）当0＜b≤2时，求函数f（x）在[-2b，b]上的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）把b=1代入函数解析式，求出其导函数，由导函数的符号判断原函数的单调性；
（2）求出函数f（x）的导函数，得到其零点，然后讨论零点与所给区间端点值的大小关系得到函数在所给区间上的单调性，并求得最值．

解答： 解：（1）当b=1时，f（x）=（x²+x+1）e^x，
∴f′（x）=（x²+3x+2）•e^x，
由f′（x）＞0，得x＞-1或x＜-2．
故函数f（x）的增区间为（-∞，-2），（-1，+∞）；
（2）∵f（x）=（x²+bx+b）e^x，
∴f′（x）=[x²+（2+b）x+2b]e^x=（x+2）（x+b）e^x．
由f′（x）=0，得x=-2或x=-b．
当-2≤-2b，即0＜b≤1时，函数f（x）在（-2b，-b）上单调递减，在（-b，b）上单调递增．
∴M=max{f（-2b），f（b）}，
∵f（-2b）=（2b²+b）•e^-2b，
f（b）=（2b²+b）•e^b．
∴M=f（b）．
当-2b＜-2＜-b，即1＜b＜2时，函数f（x）在（-2b，-2）上单调递增，在（-2，-b）上单调递减，在（-b，b）上单调递增．
∴M=max{f（-2），f（b）}，
∵f（-2）=（4-b）•e^-2，
且（2b²+b）-（4-b）=2b2+2b-4=2(b+

1

2

)2-

9

2

＞2×12+2×1-4=0，
∴M=f（b）．
当-2=-b，即b=2时，f′（x）≥0，函数f（x）在（-2b，b）上单调递增，
∴M=f（b）．
综上所述：M=f（b）=（2b²+b）e^b．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数研究函数的最值，考查了分类讨论的数学思想方法及数学在转化思想方法，是压轴题．