Question

已知函数F（x）=ax-lnx（a＞0）
（1）若曲线y=f（x）在点（l，f（l））处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；
（2）若当x∈[l，e]时，函数f（x）的最小值是4，求函数f（x）在该区间上的最大值．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用曲线y=f（x）在点（l，f（l））处的切线方程为y=2x+b，即可求a，b的值；
（2）定义域为（0，+∞），确定f（x）在（0，

1

a

）上单调递减，在（

1

a

，+∞）单调递增，根据当x∈[l，e]时，函数f（x）的最小值是4，利用分类讨论，即可求得函数f（x）在该区间上的最大值．

解答：解：（1）求导函数，可得f′（x）=a-

1

x

（x＞0）…（1分）
由f′（1）=a-1=2，∴a=3…（2分）
∴f（1）=3…（3分）
∴b=f（1）-2×1=1…（4分）
（2）定义域为（0，+∞），f′（x）=a-

1

x

=

ax-1

x

…（5分）
由f′（x）＞0，得x＞

1

a

，f′（x）＜0，得0＜x＜

1

a

∴f（x）在（0，

1

a

）上单调递减，在（

1

a

，+∞）单调递增…（7分）
若

1

a

≤1，即a≥1时，f（x）在[1，e]单调递增，∴f（x）_min=f（1）=a=4，此时f（x）_max=f（e）=4e-1…（9分）
若

1

a

≥e，即0＜a≤

1

e

时，f（x）在[1，e]单调递减，∴f（x）_min=f（e）=ae-1=4，∴a=

5

e

＞

1

e

（不合题意）…（11分）
若1＜

1

a

＜e，即

1

e

＜a＜1时，f（x）在（1，

1

a

）单调递减，在（

1

a

，e）单调递增，∴f（x）_min=f（

1

a

）=1+lna=4
此时a=e³（不合题意）
综上知，f（x）_max=4e-1…（13分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查函数的最值，正确求导，合理分类是关键．