Question

已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）设函数．若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）,（2）当时，在上单调递减,若，单调递增区间为和，单调递减区间为．若，在上单调递增．（3）.

解析试题分析：（1）利用导数几何意义求切线斜率，根据点斜式写切线过程. 函数的定义域为，．当时，函数，，．所以曲线在点处的切线方程为,即．（2）利用导数研究函数单调性，关键明确导函数零点与定义域的关系，正确判断导数符号. 当时，,,当时,若，由，即，得或；由，即，得．若，,.（3）存在性问题，利用变量分离转化为求函数最值. 因为，等价于.令，等价于“当 时，”. 因为当时，，所以，因此.
函数的定义域为，．   1分
（1）当时，函数，，．
所以曲线在点处的切线方程为，
即．         4分
（2）函数的定义域为．
1.当时，在上恒成立，
则在上恒成立，此时在上单调递减．     5分
2.当时，，
（ⅰ）若，
由，即，得或；      6分
由，即，得．         7分
所以函数的单调递增区间为和，
单调递减区间为