已知函数.
(1)若,求曲线
在点
处的切线方程;
(2)求函数的单调区间;
(3)设函数.若至少存在一个
,使得
成立,求实数
的取值范围.
(1),(2)当
时,
在
上单调递减,若
,单调递增区间为
和
,单调递减区间为
.若
,在
上单调递增.(3)
.
解析试题分析:(1)利用导数几何意义求切线斜率,根据点斜式写切线过程. 函数的定义域为,
.当
时,函数
,
,
.所以曲线
在点
处的切线方程为
,即
.(2)利用导数研究函数单调性,关键明确导函数零点与定义域的关系,正确判断导数符号. 当
时,
,
,当
时,若
,由
,即
,得
或
;由
,即
,得
.若
,
,
.(3)存在性问题,利用变量分离转化为求函数最值. 因为
,等价于
.令
,等价于“当
时,
”. 因为当
时,
,所以
,因此
.
函数的定义域为,
. 1分
(1)当时,函数
,
,
.
所以曲线在点
处的切线方程为
,
即. 4分
(2)函数的定义域为
.
1.当时,
在
上恒成立,
则在
上恒成立,此时
在
上单调递减. 5分
2.当时,
,
(ⅰ)若,
由,即
,得
或
; 6分
由,即
,得
. 7分
所以函数的单调递增区间为
和
,
单调递减区间为
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈R),其中a∈R.
(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率;
(2)当a≠时,求函数y=f(x)的单调区间与极值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)=ln x+2x,g(x)=a(x2+x).
(1)若a=,求F(x)=f(x)-g(x)的单调区间;
(2)若f(x)≤g(x)恒成立,求实数a的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数.
(1)当a=l时,求的单调区间;
(2)若函数在
上是减函数,求实数a的取值范围;
(3)令,是否存在实数a,当
(e是自然对数的底数)时,函数g(x)最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
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