Question

定义函数y=f（x），x∈D，若存在常数C，对任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使得

f(x1)f(x2)

=C，则称函数f（x）在D上的几何平均数为C．已知f（x）=x，x∈[2，4]，则函数f（x）=x在[2，4]上的几何平均数为

 

．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用

专题：函数的性质及应用

分析：根据已知中对于函数y=f（x），x∈D，若存在常数C，对任意x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使得

f(x1)f(x2)

=C，则称函数f（x）在D上的几何平均数为C．易得若函数在区间D上单调递增，则C应该等于函数在区间D上最大值与最小值的几何平均数，由f（x）=x，D=[2，4]，代入即可得到答案．

解答： 解：根据已知中关于函数f（x）在D上的几何平均数为C的定义，
结合f（x）=x在区间[2，4]单调递增，
则x₁=2时，存在唯一的x₂=4与之对应，
故C=

2×4

=2

2

．
故答案为：2

2

．

点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，其中根据函数在区间上的几何平均数的定义，判断出C等于函数在区间D上最大值与最小值的几何平均数，是解答本题的关键．