Question

【题目】如图所示，该几何体是由一个直三棱柱和一个正四棱锥组合而成， ， ．

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）求正四棱锥的高，使得二面角的余弦值是．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）．

【解析】试题分析：（Ⅰ）要证面面垂直只需证线面垂直，而要证线面垂直，又往往需要利用线面垂直的性质定理；（Ⅱ）利用（Ⅰ）建系后求法向量，要注意两个法向量夹角和二面角平面角关系，不要弄错符号.

试题解析：（Ⅰ）证明：正三棱柱中， 平面，

所以，又， ，

所以平面， 平面，

所以平面平面．　

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，以为原点， ， ， 方向为， ， 轴建立空间直角坐标系，设正四棱锥的高为， ，则， ， ， ， ， ， ．

设平面的一个法向量，

则取，则，所以．

设平面的一个法向量，则

取，则， ，所以．

二面角的余弦值是，

所以，

解得．