Question

18．已知函数f（x）=2sin（$\frac{x}{4}$+2），如果存在实数x₁，x₂使得对任意的实数，都有f（x₁）≤f（x₂），则|x₁-x₂|的最小值是4π．

Answer 1

分析 先根据f（x₁）≤f（x₂）对任意实数x成立，进而可得到x₁、x₂是函数f（x）对应的最大、最小值的x，得到|x₁-x₂|一定是$\frac{T}{2}$的整数倍，然后求出函数f（x）=2sin（$\frac{x}{4}$+2）的最小正周期，根据|x₁-x₂|=n×$\frac{T}{2}$=4nπ可求出求出最小值．

解答 解：∵存在实数x₁，x₂使得对任意的实数，都有f（x₁）≤f（x₂），
∴x₁、x₂是函数f（x）对应的最小、最大值的x，
故|x₁-x₂|一定是$\frac{T}{2}$的整数倍；
∵函数f（x）=2sin（$\frac{x}{4}$+2）的最小正周期T=$\frac{2π}{\frac{1}{4}}$=8π，
∴|x₁-x₂|=n×$\frac{T}{2}$=4nπ（n＞0，且n∈Z），
∴|x₁-x₂|的最小值为4π；
故答案为：4π．

点评 本题考查了求正弦函数的图象与性质的应用问题，解题时应深刻理解题意，灵活应用基础知识，属于中档题．