Question

已知定义在R上的偶函数f（x）满足：f（x+2）=f（x）+f（1），且当x∈[0，1]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：
①f（1）=0
②函数y=f（x）在[4，5]上单调递增
③直线x=-2为函数y=f（x）的一条对称轴；
④若方程f（x）=m在[-3，-1]上两根x₁，x₂，则x₁+x₂=-4．
以上命题正确的是

 

（请把所有正确命题的序号都填上）

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：利用赋值法，令x=-2求得f（1）=0，判断出函数为周期函数和函数的单调性，画出函数的图象，由图象判断②③④．

解答： 解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（-x）=f（x），
可得f（-1）=f（1），
在f（x+2）=f（x）+f（1）中，
令x=-2得f（1）=f（-1）+f（1），
∴f（-1）=f（1）=0，
∴f（x+2）=f（x），
∴函数f（x）是周期为2的周期函数，
又当x∈[0，1]时，y=f（x）单调递减，
结合函数的奇偶性画出函数f（x）的简图，
如图所示．
从图中可以得出：②函数y=f（x）在[4，5]单调递减；
③x=-2为函数y=f（x）图象的一条对称轴；
④若方程f（x）=m在[-3，-1]上的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=-4．
故答案为：①③④．

点评：本题考查函数奇偶性的性质，函数奇偶性的判断，考查学生的综合分析与转化能力，属于难题