Question

某港口相邻两次高潮发生的时间间隔12h20min，低潮时入口处水的深度为2.8m，高潮时为8.4m，一次高潮发生在10月 3日2：00．
（1）若从10月3日0：00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深d（m）和时间t（h）之间的函数关系；
（2）求出10月5日4：00水的深度；
（3）求出10月3日吃水深度为5m的轮船能进入港口的时间．

Answer 1

考点：在实际问题中建立三角函数模型,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：综合题,三角函数的求值

分析：（1）设d=Asin（ωt+φ）+h，利用低潮时入口处水的深度为2.8m，高潮时为8.4m，求出h，A，利用两次高潮发生的时间间隔12h20min，求出ω，再求出φ，即可描述这个港口的水深d（m）和时间t（h）之间的函数关系；
（2）10月5日4：00，t=24+24+4，即可求出水的深度；
（3）d=2.8sin（

6π

37

t+

13π

74

）+5.6≥5，求出10月3日吃水深度为5m的轮船能进入港口的时间．

解答： 解：（1）设d=Asin（ωt+φ）+h，则

A+h=8.5 h-A=2.8

∴h=5.6，A=2.8，
∵T=12+

1

3

=

37

3

，
∴ω=

6π

37

，
t=2时，2ω+φ=

π

2

，∴φ=

13π

74

，
∴d=2.8sin（

6π

37

t+

13π

74

）+5.6；
（2）t=24+24+4时，d=2.8sin（

6π

37

×52+

13π

74

）+5.6≈8.24；
（3）d=2.8sin（

6π

37

t+

13π

74

）+5.6≥5
∴10月3日吃水深度为5m的轮船能进入港口的时间大约为0：00～5：30；10：51～17：48；23：12～24：00．

点评：本题考查在实际问题中建立三角函数模型，考查学生利用数学知识解决实际问题，属于中档题．