Question

3．过抛物线L：x²=2py（p＞0）的焦点F且斜率为$\frac{3}{4}$的直线与抛物线L在第一象限的交点为P，且|PF|=5
（1）求抛物线L的方程；
（2）设直线l：y=kx+m与抛物线L交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点．
（ⅰ）若k=2，线段AB的垂直平分线分别交y轴和抛物线L于M，N两点，（M，N位于直线l两侧），当四边形AMBN为菱形时，求直线l的方程；
（ⅱ）若直线l过点，且交x轴于点C，且$\overrightarrow{CA}$=a$\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{CB}$=b$\overrightarrow{BF}$，对任意的直线l，a+b是否为定值？若是，求出a+b的值，若不是，说明理由．

Answer 1

分析 （1）过P作PA⊥y轴于点A，则cos$∠AFP=\frac{3}{5}$，由抛物线的定义得$\frac{p}{2}+（3+\frac{p}{2}）=5$，由此能求出抛物线方程．
（2）（i）直线l的方程为y=2x+m，联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{y=2x+m}\end{array}\right.$，得x²-8x-4m=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能求出直线l的方程．
（ii）由题意直线l的方程为y=kx+1，l与x轴交点为C（-$\frac{1}{k}$，0），由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，得x²-4kx-4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量知识，结合已知条件能求出对任意的直线l，a+b为定值-1．

解答 解：（1）设P（x₀，y₀），过P作PA⊥y轴于点A，
∵直线PF的斜率为$\frac{3}{4}$，∴cos$∠AFP=\frac{3}{5}$，
∵|PF|=5，∴|AF|=3，即${y}_{0}=3+\frac{p}{2}$，
由抛物线的定义得$\frac{p}{2}+（3+\frac{p}{2}）=5$，解得p=2，
∴抛物线方程为x²=4y．
（2）（i）直线l的方程为y=2x+m，
联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{y=2x+m}\end{array}\right.$，消y得x²-8x-4m=0，
令△=64+16m＞0，解得m＞-4，
∴x₁+x₂=8，x₁x₂=-4m，
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=4，\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}=8+m$，
∴AB的中点坐标为Q（4，8+m），
∴AB的垂直平分线方程为y=-（8+m）=-$\frac{1}{2}$（x-4），
∴M（0，m+10），
∵四边形AMBN在菱形，M，N关于Q（4，8+m）对称，
∴N点坐标为N（8，m+6），且N点在抛物线上，
∴64=4（m+6），即m=10．
∴直线l的方程为y=2x+10．
（ii）由题意直线l的斜率一定不为0，其方程为y=kx+1，
则直线l与x轴交点为C（-$\frac{1}{k}$，0），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，得x²-4kx-4=0，
∴△=（4k）²-（-16）=16（k²+1）＞0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
由$\overrightarrow{CA}=a\overrightarrow{AF}$，得（${x}_{1}+\frac{1}{k}$，y₁）=a（-x₁，1-y₁），
∴$a=\frac{{y}_{1}}{1-{y}_{1}}$=-$\frac{k{x}_{1}+1}{k{x}_{1}}$，
同理，得b=-$\frac{k{x}_{2}+1}{k{x}_{2}}$，
∴a+b=-（$\frac{k{x}_{1}+1}{k{x}_{1}}$+$\frac{k{x}_{2}+1}{k{x}_{2}}$）=-（2+$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{k{x}_{1}{x}_{2}}$）=-1，
∴对任意的直线l，a+b为定值-1．

点评 本题考查抛物线方程、直线方程的求法，考查代数式的值为定值的判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、中点坐标公式、椭圆性质的合理运用．