Question

（本小题满分12分）双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线y=为的一条渐近线.
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）过点(0,4)的直线，交双曲线于A,B两点，交x轴于点（点与的顶点不重合）。当 =，且时，求点的坐标

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）

解析试题分析：（Ⅰ）设双曲线方程为
由椭圆 求得两焦点为，对于双曲线，
又为双曲线的一条渐近线, ,
又因为，可以解得 ，
双曲线的方程为.                                        ……4分
（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在且不等于零
设的方程：，，则，
,
,
.                                 ……8分
在双曲线上，

同理有：
若则直线过顶点，不合题意
是二次方程的两根，

，
此时 
所求的坐标为.                                             ……12分
考点：本小题主要考查椭圆与双曲线的基本运算、向量的数量积运算以及直线与圆锥曲线的位置关系，考查学生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力以及分类讨论思想的应用.
点评：椭圆与双曲线混合运算时，要注意椭圆中而双曲线中，不要弄混了；而考查直线与圆锥曲线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在.