(本题满分12分)设椭圆C1:的左、右焦点分别是F1、F2,下顶点为A,线段OA的中点为B(O为坐标原点),如图.若抛物线C2:
与
轴的交点为B,且经过F1,F2点.
(Ⅰ)求椭圆C1的方程;
(Ⅱ)设M(0,),N为抛物线C2上的一动点,过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P、Q两点,求
面积的最大值.
(Ⅰ)(Ⅱ)
解析试题分析:(Ⅰ)解:由题意可知B(0,-1),则A(0,-2),故b=2.
令y=0得即
,则F1(-1,0),F2(1,0),故c=1.
所以.于是椭圆C1的方程为
.…………4分
(Ⅱ)设N(),由于
知直线PQ的方程为:
. 即
.……………………………5分
代入椭圆方程整理得:,
=
,
,
,
故.………………………………7分
设点M到直线PQ的距离为d,则.…………………9分
所以,的面积S
………………11分
当时取到“=”,经检验此时
,满足题意.
综上可知,的面积的最大值为
.…………………………12分
考点:椭圆标准方程及直线和椭圆的位置关系求最值
点评:本题计算量较大,要求学生有较强的数据处理能力
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
某海域有、
两个岛屿,
岛在
岛正东4海里处。经多年观察研究发现,某种鱼群洄游的路线是曲线
,曾有渔船在距
岛、
岛距离和为8海里处发现过鱼群。以
、
所在直线为
轴,
的垂直平分线为
轴建立平面直角坐标系。
(1)求曲线的标准方程;(6分)
(2)某日,研究人员在、
两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同),
、
两岛收到鱼群在
处反射信号的时间比为
,问你能否确定
处的位置(即点
的坐标)?(8分)
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本题满分12分)
已知椭圆C:的上顶点坐标为
,离心率为
.
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)设P为椭圆上一点,A为左顶点,F为椭圆的右焦点,求的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(12分)已知椭圆C:以双曲线
的焦点为顶点,其离心率与双曲线的离心率互为倒数.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C的左、右顶点分别为点A,B,点M是椭圆C上异于A,B的任意一点.
①求证:直线MA,MB的斜率之积为定值;
②若直线MA,MB与直线x=4分别交于点P,Q,求线段PQ长度的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分12分)双曲线C与椭圆有相同的焦点,直线y=
为
的一条渐近线.
(Ⅰ)求双曲线的方程;
(Ⅱ)过点(0,4)的直线
,交双曲线
于A,B两点,交x轴于
点(
点与
的顶点不重合)。当
=
,且
时,求
点的坐标
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(12分)已知抛物线的焦点为
,准线为
,过
上一点P作抛物线的两切线,切点分别为A、B,
(1)求证:;
(2)求证:A、F、B三点共线;
(3)求的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分10分)已知中心在原点O,焦点在轴上的椭圆C的离心率为
,点A,B分别是椭圆C的长轴、短轴的端点,点O到直线AB的距离为
。
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知点E(3,0),设点P、Q是椭圆C上的两个动点,满足EP⊥EQ,
求的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设椭圆的左、右顶点分别为
、
,点
在椭圆上且异于
、
两点,
为坐标原点.
(1)若直线与
的斜率之积为
,求椭圆的离心率;
(2)对于由(1)得到的椭圆,过点
的直线
交
轴于点
,交
轴于点
,若
,求直线
的斜率.
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