Question

已知函数f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x，△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a=2

3

．
（1）求f（x）的最大值及取得最大值时相应x值的集合；
（2）若f（A）=2，b+c=6，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）首先根据三角函数的恒等变换，变形成正弦型函数，进一步求出最值和对应的区间．
（2）直接利用（1）的结论，进一步利用余弦定理求出bc的值，进一步求出三角形的面积．

解答： 解：（1）f(x)=

3

sin2x+cos2x+1
=2(

3

2

sin2x+

1

2

cos2x)+1=2sin(2x+

π

6

)+1
∴f(x)max=3，此时2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z
∴f(x)max=3，x的取值集合为{x|x=kπ+

π

6

，k∈Z}
（2）f(A)=2，即sin(2A+

π

6

)=

1

2

由

π

6

＜2A+

π

6

＜

13π

6

∴2A+

π

6

=

5π

6

，即A=

π

3

在△ABC中，由余弦定理a²=b²+c²-bc
又b+c=6，a=2

3

∴12=（b+c）²-3bc=36-3bc，
bc=8
所以S△ABC=

1

2

bcsinA=2

3

点评：本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，正弦型函数的最值，余弦定理的应用，三角形的面积公式的应用．属于基础题型．