Question

10．如图，已知过点P（4，3）的光线，经x轴上一点A反射后的射线l过点Q（0，5）．
（1）求点A的坐标；
（2）若圆C过点Q且与x轴相切于点（-1，0），求圆C的方程．

Answer 1

分析 （1）根据反射光线的性质可知P′（4，-3）在直线AQ上，利用两点式求出直线AQ的方程，即可得出A点坐标；
（2）利用待定系数法设出圆的方程，根据条件列方程解出即可．

解答 解：（1）由光线的反射角与入射角相等可知，
点P（4，3）关于x轴对称点P'（4，-3）在直线AQ上，
∴直线AQ的方程为$\frac{y-5}{-3-5}=\frac{x-0}{4-0}$，即2x+y-5=0，
令y=0，解得$x=\frac{5}{2}$，
∴点A的坐标为$（\frac{5}{2}，0）$．
（2）设圆C的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0），
∵圆C与x轴相切于点（-1，0），∴b=r，a=-1，
∵圆C过点Q（0，5），∴1+（5-b）²=b²，
解得$b=\frac{13}{5}$，
∴圆C的方程为${（x+1）^2}+{（b-\frac{13}{5}）^2}={（\frac{13}{5}）^2}$．

点评 本题考查了直线的方程，圆的方程的求解，属于中档题．