Question

【题目】已知函数f（x），当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．当x＞0时，f（x）＞0
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）若 ，试求f（x）在区间[﹣2，6]上的最值；
（3）是否存在m，使f（2（ ）2﹣4）+f（4m﹣2（ ））＞0对任意x∈[1，2]恒成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：令x=0，y=0，则f（0）=2f（0），

∴f（0）=0．令y=﹣x，则f（0）=f（x）+f（﹣x），

∴﹣f（x）=f（﹣x），即f（x）为奇函数

（2）解：任取x1，x2∈R，且x1＜x2

∵f（x+y）=f（x）+f（y），

∴f（x2）﹣f（x1）=f（x2﹣x1），

∵当x＞0时，f（x）＞0，且x1＜x2，

∴f（x2﹣x1）＞0，

即f（x2）＞f（x1），

∴f（x）为增函数，

∴当x=﹣2时，函数有最小值，f（x）min=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣2f（1）=﹣1．

当x=6时，函数有最大值，f（x）max=f（6）=6f（1）=3

（3）解：∵函数 f（x）为奇函数，

∴不等式 可化为 ，

又∵f（x）为增函数，∴ ，

令t=log2x，则0≤t≤1，

问题就转化为2t2﹣4＞2t﹣4m在t∈[0，1]上恒成立，

即4m＞﹣2t2+2t+4对任意t∈[0，1]恒成立，

令y=﹣2t2+2t+4，只需4m＞ymax，

而 （0≤t≤1），

∴当 时， ，则 ．

∴m的取值范围就为

【解析】（1）在给出的等式中取x=y=0，求得f（0）=0，再取y=﹣x可证明f（x）是奇函数；（2）利用函数单调性的定义，借助于已知等式证明函数f（x）为增函数，从而求出函数在给定区间上的最值；（3）由奇偶性把给出的不等式变形，然后利用单调性去掉“f”，换元后利用分离变量法求m的取值范围．
【考点精析】本题主要考查了函数的奇偶性和指、对数不等式的解法的相关知识点，需要掌握偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称；指数不等式的解法规律：根据指数函数的性质转化;对数不等式的解法规律：根据对数函数的性质转化才能正确解答此题．