【题目】定义:若两个二次曲线的离心率相等,则称这两个二次曲线相似.如图,椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,右顶点为A,以其短轴的两个端点B1 , B2及其一个焦点为顶点的三角形是边长为6的正三角形,M是C上异于B1 , B2的一个动点,△MB1B2的重心为G,G点的轨迹记为C1 .
(1)(i)求C的方程;
(ii)求证:C1与C相似;
(2)过B1点任作一直线,自下至上依次与C1、x轴的正半轴、C交于不同的四个点P,Q,R,S,求 的取值范围.
【答案】
(1)(i)解:设C的方程: +
=1(a>b>0),则
,
∴a=6,b=3,
∴C的方程: =1;
(ii)证明:设G(x,y),M(x0,y)(x0≠0),则x0=3x,y0=3y
把点M(3x,3y)的坐标代入C的方程,得轨迹C1的方程为 =1(x≠0),
∴轨迹C1也为椭圆(除去(0,﹣1),(0,1)两点),求得a1=2,c1= ,e1=
,
∵C的离心率e= ,
∴e1=e,
∴C1与C相似;
(2)解:设直线方程为y=kx﹣3(k>0),代入C的方程得(1+4k2)x2﹣24kx=0,∴xS= ,yS=
,
∴ =
,
代入C1的方程得(1+4k2)x2﹣24kx+32=0,由k>0,△>0得k> ,
由韦达定理得xP+xR= ,xPxR=
,
∴|PR|2=(1+k2)[ ﹣
].
∵|AQ|=6﹣ =
,
∴ =
令f(k)= (k
)
则f′(k)=
<0
∴f(k)在( ,+∞)上是减函数,
∴ )=
∴0< <
【解析】(1)(i)设C的方程: +
=1(a>b>0),则
,求出a,b,即可求C的方程;(ii)求出轨迹C1 , 可得离心率相等,即可证明C1与C相似;(2)设直线方程为y=kx﹣3(k>0),代入椭圆方程,求出相应线段的长,可得
=
构造函数,利用导数确定函数的单调性,即可确定
的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=x3﹣3x
(1)讨论f(x)的单调区间;
(2)若函数g(x)=f(x)﹣m在[﹣ ,3]上有三个零点,求实数m的取值范围;
(3)设函数h(x)=ex﹣ex+4n2﹣2n(e为自然对数的底数),如果对任意的x1 , x2∈[ ,2],都有f(x1)≤h(x2)恒成立,求实数n的取值范围.
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【题目】某印刷厂为了研究印刷单册书籍的成本y(单位:元)与印刷册数x(单位:千册)之间的关系,在印制某种书籍时进行了统计,相关数据见下表:
根据以上数据,技术人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型,得到了两个回归方程,甲:
为了评价两种模型的拟合效果,完成以下任务:
(1)(ⅰ)完成下表(计算结果精确到0.1):
(ⅱ)分别计算模型甲与模型乙的残差平方和及
,并通过比较
,
的大小,判断哪个模型拟合效果更好.
(2)该书上市后,受到广大读者的热烈欢迎,不久便全部售罄,于是印刷厂决定进行二次印刷,根据市场调查,新需求量为8千册(概率为0.8)或10千册(概率为0.2),若印刷厂以没测5元的价格将书籍出售给订货商,问印刷厂二次印刷8千册还是10千册恒获得更多的利润?(按(1)中拟合效果较好的模型计算印刷单册书的成本)
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【题目】已知函数f(x),当x,y∈R时,恒有f(x+y)=f(x)+f(y).当x>0时,f(x)>0
(1)求证:f(x)是奇函数;
(2)若 ,试求f(x)在区间[﹣2,6]上的最值;
(3)是否存在m,使f(2( )2﹣4)+f(4m﹣2(
))>0对任意x∈[1,2]恒成立?若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,说明理由.
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【题目】有下列命题中,正确的是( )
A.“若 ,则
”的逆命题
B.命题“?x∈R, ”的否定
C.“面积相等的三角形全等”的否命题
D.“若A∩B=B,则A?B”的逆否命题
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【题目】已知函数f(x)=loga(1﹣x)+loga(x+3),其中0<a<1.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)若函数f(x)的最小值为﹣4,求a的值.
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【题目】已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2csinBcosA﹣bsinC=0.
(1)求角A;
(2)若△ABC的面积为 ,b+c=5,求a.
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【题目】已知函数f(x)=x2﹣2x(x∈[﹣1,2])的值域为集合A,g(x)=ax+2(x∈[﹣1,2])的值域为集合B.若AB,则实数a的取值范围是 .
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