Question

16．在等差数列{a_n}中，a₄=9，a₇=3a₂．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{$\frac{1}{a{{\;}_{n}a}_{n+1}}$}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）利用裂项求和方法即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₄=9，a₇=3a₂．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+3d=9}\\{{a}_{1}+6d=3（{a}_{1}+d）}\end{array}\right.$，解得a₁=3，d=2．
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．
（2）$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}$$（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）$．
∴数列{$\frac{1}{a{{\;}_{n}a}_{n+1}}$}的前n项和S_n=$\frac{1}{2}$$[（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+$（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}）]$
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}）$
=$\frac{n}{3（2n+3）}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．