Question

8．如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面BCE，BE⊥EC．
（1）求证：平面AEC⊥平面ABE；
（2）点F在BE上，若DE∥平面ACF，DC=CE=$\frac{1}{2}$BC=3，求三棱锥A-BCF的体积．

Answer 1

分析 （1）根据平面ABCD⊥平面BCE，利用面面垂直的性质可得AB⊥平面BCE，从而可得CE⊥AB，由CE⊥BE，根据线面垂直的判定可得CE⊥平面ABE，从而可得平面AEC⊥平面ABE；
（2）连接BD交AC于点O，连接OF．根据DE∥平面ACF，可得DE∥OF，根据O为BD中点，可得F为BE中点，由已知求出底面三角形BCF的面积，代入体积公式得答案．

解答 （1）证明：∵ABCD为矩形，∴AB⊥BC．
∵平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD∩平面BCE=BC，AB?平面ABCD，
∴AB⊥平面BCE．
∵CE?平面BCE，∴CE⊥AB．
∵CE⊥BE，AB?平面ABE，BE?平面ABE，AB∩BE=B，
∴CE⊥平面ABE．
∵CE?平面AEC，∴平面AEC⊥平面ABE．
（2）解：连接BD交AC于点O，连接OF．
∵DE∥平面ACF，DE?平面BDE，平面ACF∩平面BDE=OF，
∴DE∥OF．
又∵矩形ABCD中，O为BD中点，
∴F为BE中点，即BF=FE．
在Rt△BEC中，∵BC=6，EC=3，∴BE=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}=3\sqrt{3}$．
∴${S}_{△AFC}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×3\sqrt{3}×3=\frac{9\sqrt{3}}{4}$．
又AB=DC=3．
∴${V}_{A-BCF}=\frac{1}{3}×\frac{9\sqrt{3}}{4}×3=\frac{9\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查面面垂直的判定，考查了棱锥体积的求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．