Question

20．在△ABC 中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且acos²$\frac{C}{2}$+ccos²$\frac{A}{2}$=$\frac{3b}{2}$．
（Ⅰ）求证：a，b，c 成等差数列；
（Ⅱ）若B=$\frac{π}{3}$，b=4，求△ABC 的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，利用等差数列性质判断即可得证；
（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，把cosB与b的值代入，利用完全平方公式变形，求出ac的值，再由sinB的值，利用三角形面积公式即可求出所求面积．

解答 解：（Ⅰ）证明：已知等式整理得：a•$\frac{cosC+1}{2}$+c•$\frac{cosA+1}{2}$=$\frac{3b}{2}$，
即a（cosC+1）+c（cosA+1）=3b，
利用正弦定理化简得：sinA（cosC+1）+sinC（cosA+1）=3sinB，
整理得：sin（A+C）+sinA+sinC=3sinB，即sinB+sinA+sinC=3sinB，
∴sinA+sinC=2sinB，
利用正弦定理化简得：a+c=2b，即b-a=c-b，
则a，b，c 成等差数列；
（Ⅱ）∵B=$\frac{π}{3}$，b=4，
∴由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，
即16=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac=4b²-3ac=64-3ac，
整理得：ac=16，
则S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=4$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的余弦函数公式，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．