Question

15．已知函数f（x）的定义域为[-2，6]，x与f（x）部分对应值如表，f（x）的导函数y=f（x）的图象如图所示．

x	-2	0	5	6
f（x）	3	-2	-2	3

下列结论：
①函数f（x）在（0，3）上是增函数；
②曲线y=f（x）在x=4处的切线可能与y轴垂直；
③如果当x∈[-2，t]时，f（x）的最小值是-2，那么t的最大值为5；
④?x₁，x₂∈[-2，6]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤a恒成立，则实数a的最小值是5，其中正确结论的个数是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 由图象得出函数在区间上的单调性，画出函数的大致图象，从而得出答案．

解答 解：由函数f（x）的导函数f′（x）的图象得：
x∈[-2，0]时，f′（x）＜0，f（x）递减，-2≤f（x）≤3，
x∈[0，3）时，f′（x））＞0，f（x）递增，f（x）≥-2，
x∈（3，5）时，f′（x）＜0，f（x）递减，f（x）≥-2，
x∈[5，6]时，f′（x）＞0，f（x）递增，-2≤f（x）≤3，
由此判断①正确，②错误，③t的最大值可以为6，③错误；
④根据题意画出函数f（x）的图象如图所示，
则?x₁，x₂∈[-2，6]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤a恒成立，此时a的最小值是不是5，④错误．
综上，以上正确的结论是①，只有1个．
故选：A．

点评 本题考查了函数的单调性与导数的应用问题，渗透了数形结合思想，是基础题．