Question

3．设$\frac{π}{2}$＜α＜π，且3sin2α+2sinα+12cosα+4=0．
（1）求cosα的值；
（2）求sin（$α-\frac{π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （1）把所给的等式化为 （2cosα+4）•4（3cosα+1）=0，由此可得cosα的值．
（2）直接利用两角差的正弦公式求得sin（$α-\frac{π}{3}$）=sinαcos$\frac{π}{3}$-cos$αsin\frac{π}{3}$的值．

解答 解：（1）∵$\frac{π}{2}$＜α＜π，且3sin2α+2sinα+12cosα+4=6sinαcosα+2sinα+4（3cosα+1）
=2sinα（3cosα+1）+4（3cosα+1）=（2cosα+4）•4（3cosα+1）=0，
∴3cosα+1=0，∴cosα=-$\frac{1}{3}$．
（2）由（1）可得sinα=$\sqrt{{1-cos}^{2}α}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
sin（$α-\frac{π}{3}$）=sinαcos$\frac{π}{3}$-cos$αsin\frac{π}{3}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}•\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式的应用，属于中档题．